您的位置:首页 >教研科研>教学研究>详细内容

教学研究

完美数

来源: 发布时间:2019-03-25 13:20:00 浏览次数: 【字体:


    已知自然数a和b,如果b能够整除a,就说b是a的一个因数,也称为约数。显然,任何自然数a,总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。

    例如6,12,14这三个数的所有真因数:

    6:1,2,3;1+2+3=6

    12:1,2,3,4,6;1+2+3+4+6=16>12

    14:1,2,7;1+2+7=10<14

   像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数(不足数);大于真因数之和的(如14)叫做盈数或过剩数;恰好相等的(如6)叫做完全数,也称为完美数。

   古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年,尼哥马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》,其中写道:“也许是这样:正如美的、卓绝的东西是罕有的,是容易计数的,而丑的、坏的东西却滋蔓不已;所以盈数和亏数非常之多,而且紊乱无章,它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数,而且又顺理成章……,它们具有一致的特性;尾数都是6或8,而且永远是偶数。”

  现在数学家已发现,完全数非常稀少,至今人们只发现29个,而且都是偶完全数。前5个分别是:6,28,496,8128,33550336。完全数有许多有趣的性质,例如:

  1.它们都能写成连续自然数之和:

  6=1+2+3,

  28=1+2+3+4+5+6+7,

  496=1+2+3+4+……+31,

  8128=1+2+3+4+……+127;

  2.它们的全部因数的倒数之和都是2。

  1/1+1/2+1/3+1/6=2

  1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2

  1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2


【打印正文】